【M/M/1待ち行列】そのゲーセン、本当に混んでるの?

こんにちは、えあーです。

私がよく行っているゲーセンには弐寺が1台しかありません。

そしてだいたいいつも人がいるので待つことになり、
正直待つのだるいので帰ることも多いです。

ただ、よくよく考えてみると、
それって本当に混んでるの???

と疑問に思ったので、
M/M/1待ち行列を使って計算してみました。

さすがのいらすとやでもM/M/1待ち行列のイラストはなかった。

M/M/1待ち行列とは

その前にM/M/1待ち行列についてざっくり解説。

一言で言えば、
1つの窓口に一列に客が並んでいて、
順番に前から処理していく行列
です。

まさにゲーセンなんかはそんな感じですね。
その他、窓口が一つの銀行や、レジが一つのコンビニなんかもそうです。

詳しい人向けに補足すると、
やってくる客はポアソン分布に従い、処理時間は指数分布に従うという条件はあるのですが、
面倒なのでそこまで考えません。

ゲーセンの待ち行列を計算

実際に計算していきましょう。

弐寺の1プレーの時間はおおよそ12分と仮定しましょう。
だいたいよくいる人は4曲遊んでますし、
選曲時間とかコミコミで12分ということで。

弐寺の列には20分に一人来るとします。
1時間に3人です。かなりがら空きに感じます。
しかもこの人達は1クレやったら帰るという前提です。

さて、待ち行列の理論では\(\lambda , \mu , \rho \)の3つの文字が登場します。

\(\lambda\)は平均到着率、
\(\mu\)は平均サービス率、
\(\rho\)は平均利用率を表します。

特に、\(\rho\)は\(\lambda\)と\(\mu\)から計算ができ、
\(\rho = \lambda / \mu\)です。

なので、実際に必要なのは上2つだけで、
今回の場合は以下のように定められます。

\(\lambda = 3\) (1時間に3人来るので)
\(\mu = 5\) (1時間に5人プレイできるので)
よって、\(\rho = 0.6\)です。

さて、ここで平均で何人待ちなのかを計算します。

平均待ち人数は以下の式で与えられます。

\[(平均待ち人数) = \frac{\rho}{1-\rho}\]

先ほど求めた\(\rho = 0.6\)を代入してあげると、
平均待ち人数は1.5人であることがわかります。

したがってゲーセンに行くと平均で1.5人待っているわけです。

そりゃ誰もいないことがレアなわけだ。

ちなみに平均待ち時間は、\((平均待ち人数)\times (1/\mu)\)で計算できるので、
\(1.5 \times 0.2 = 0.3\)より、18分であることがわかります。

意外と待つんですね。

ちなみに人の来る頻度をいじってみると、
どれくらいの人が来るとどれくらい待つのかわかるようになります。

ちなみに弐寺の数(窓口の数)が増えるとM/M/2待ち行列とかに名前が変わります。
式も変わるので単純には行かないそうです。ラウンドワンとか考えるの大変そう

結論

混んでないように見えてゲーセンは混んでいる。

余談

実はこの記事を読めばM/M/1待ち行列のことが最低限わかるので、
基本情報とか受ける人は是非参考にしてみてください。

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